全国物理竞赛辅导第01期
竞赛试题
如图所示，原长L0为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的 一端固定在槽的O端，另一端连接一小球。这一装置可以从水平位置开始绕O点缓缓地转到竖直位置。设弹簧的形变总是在其弹性限度内。试在下述（a）、（b）两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h0。
a．在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值hm为40厘米。
b．在转动的过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大。
试题分析
此题中的现象与经验不想符.直槽相当于斜面，在直槽向竖直位置转动的过程中，小球沿斜面的分力增大，对弹簧的压迫效果增强，到竖直时应达最强，弹簧应该最短。与题中a、b二现象矛盾。经验是一种表面现象的认识，对题中物理过程的认识还是应该建立在严格的数理关系中。题目暗示我们应该写出小球高度与能定位置的参数θ角的关系，再来推理。
试题解答
（a）、设直槽与水平方向夹θ时，由平衡，小球受弹簧支持力为：
弹簧长度为 
，所以小球高度为 
…………(1)
从这个表达式可以看出，L0与k均是常数，h是一个关于sinθ的二次函数，二次项系数是负值，h 有最大值.将（1）式写成： 
即 
当 
时，h有最大值，代入a中条件 
所以 
，那么此时的 
， 
，故所以，当 
时
（说明： 
，时h＝0.4m，而 
时，h＝0.375m,低了0.025m。）
(b)、“在转动的过程中，发现小球离原水平面的高度不断增大”说明在转动过程中没有极值，或最大值在 
时取得。 
的绝对值一直在减小，即 
，也就是说 
， 
，小球高度的表达式有：
，当 
， 
，但不能超过弹簧的原长1m。有：
造成这种现象的原因是，弹簧的长度与sinθ有关，非线性的，而弹簧的长度的水平投影也是非线性的。两次非线性相结合就有可能在九十度转动中出现极值。而我们的感觉只有线性经验，没有这种非线性的定量直觉。所以对这种非线性变化常常引起错觉，在分析问题中要十分小心。
本题小结：
(1) 对非线性变化量，不能仅凭直觉
(2) 将研究量写成与表位置量的函数
(3) 二次函数求极值
(4) 
的变化范围，“一直减小的”与“先变小后变大”的条件
(5) 极值的传递性,如由 
，推理 
中的h是最大或是最小值。
