全国物理竞赛辅导第02期

竞赛试题

如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，相距为h 。轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接。物体A在下面的轨道上以匀速率v运动。在轨道间的绳子与轨道成30°角的瞬间，绳子BO段的中点处有一与绳相对静止的小水滴P与绳子分离，设绳长BO远大于滑轮直径，求：

1、小水滴P脱离绳子时速度的大小和方向；

2、小水滴P离开绳子落到下面轨道所需要的时间。

试题分析

从绳上脱离出的小水滴以后怎样运动，由初速度与受力两个条件决定。由于惯性，这个初速度就是离开绳时的速度，而小水滴以前一直是与绳上的P点一起运动的，所以它应该是P点运动到当前位置的速度。那么P点的运动方向是否在沿绳的方向？可选一微小时间，确定出P点的位置P′点，发现P点沿当前绳的运动方向无论如何均不可到达P′点。（在微小时间中可视为匀速直线运动）所以当前P点的运动不可能沿绳的运动方向。那么P点的运动又向什么方向呢？我们从绳的运动效果来讨论这个问题。经过一段时间，绳的长度OP变短，绳的方向变陡，从这两个效果上来看，变短是P点沿绳向下运动所致，变陡是垂直于绳向上运动所致。两个方向上运动存在就使P点的当前位置运动到了下一位置P′点。所以P点的运动可分解成沿绳向下与垂直于绳向上的两个分运动v­₁与v₂。如果我们求出了v­₁与v₂就能完成第一个问题。V₁沿绳方向上的分速度，同一绳上沿绳分速度相等，即为V。怎样求V₂ ? OA段绳上各点的垂直于绳的分速度的大小与到O点的距离成正比，设法求出B点的V_B2,怎样求V_B2　？　对于B点，B的速度在水平方向上，所以V_B2=Vtgθ。

水滴离开绳后，仅在重力作用下作抛体运动，在竖直方向上作匀变速运动，此时离地的高度为h的一半。

试题解答

（1）B点垂直于绳的分速度V_B2=Vtgθ＝ V

P点垂直于绳的分速度V₂= V＝ V

所以P点的速度 ，方向为与绳的夹角α

α＝ (16.1°)

(2)此时小水滴的竖直速度 ，小水滴作竖直下抛运动。经过 h所用时间t有：

解出： （舍去了负根）

本题小结：

（1）与绳相关的运动：绳上的任何二点的沿绳分速度大小相等，绳有转动效果时，各点垂直于绳的分速度之比等各点到转轴的距离之比，

（2）物体的速度大小与方向同时是不确定时，可由运动效果表现出的方向性分解为两个分运动，如题中的“绳缩短”与“绳变陡”就是运动效果表现出的方向性，最终靠求出了这两个分速度而完成了第一个问题的获解。

（3）物体的运动时间常常依赖于物体是怎样运动，物体做什么运动由初始条件与受力两个因素决定，如本题中小水滴离开了绳后的运动的判断，初始条件为 ，方向为与绳的夹角α＝16.1°,只受重力的斜下抛运动。

（4）时间t的二次方程求解时，要注意由题中的实际意义确定根的取舍