全国物理竞赛辅导第03期
竞赛试题
如图所示，四个质量均为m的质点，用同样长度且不可伸长的轻绳联结成菱形ABCD。静止放在水平光滑的桌面上。若突然给质点A一个历时极短沿CA方向的冲击，当冲击结束的时刻，质点A的速度为V，其它质点也获得一定速度，∠BAD = 2α(α＜π/4＝求此质点系统受冲击后所具有的总动量和总能量。
试题分析
物体接受外力作用时，冲量是这种作用效果的重要量度，如果这个力合外力，这个冲量就等于物体的动量改变量，当初动量为零时，与物体的末动量相等，本题中关于外力是怎样作用于质点A，只有唯一的一条描述“突然给质点A一个历时极短沿CA方向的冲击”，可以推出这个系统获得的总动量只能在沿CA向左的方向上，注意到速度V不是质点A刚接受完冲击的速度，而是A通过绳带动了B、C和D的一个末速度，后三球的速度不知。由对称性B与D一定有相同的速度，取D出来研究，但D的速度大小于方向均不详，可设为水平向左的V1和垂直于AC向下的速度V2，C的速度只能沿AC向左设为V3。要想求解必须列出三个方程。题中的四个速度与绳相关，V1、V2和V通过AD绳相关连，V1、V2和V3通过DC绳相关连，可各列一个方程，本题的难点在于找出第三个方程。注意到本题中有四根绳子，各球的速度受绳子相关连，这个特点已经用上了，但每个球的速度的改变是绳的拉力引起，这个特点要设法用上。四根绳子各有拉力，但由于对称性，AD与AB的冲量大小相等为I1，CD与CB中的冲量大小相等为I2，由动量定理，对D可列两个方程，对C可列一个方程，这样增加了两个末知，但得到了三方程，三速度可球。求出了V1、V2和V3，动量与总能量问题不难了。
试题解答
由题中的对称性，B与D一定有相同的速度，取D出来研究，设有水平向左的V1和垂直于AC向下的速度V2，C的速度只能沿AC向左设为V3。如图所示。
对AD绳有：
…（1）
对DC绳有：
…（2）
AD与AB对球的冲量大小相等为I1，CD与CB中对球的冲量大小相等为I2，由动量定理得,
对D有：V1方向上为
…（3）
V2方向上为
…（4）
对C有：V3方向上为 
…（5）
(4)×cosα-(3)×sinα得:
…(6)
代（5）入(6)得 
再代入（2）得:
,将其代入（1）得：
然后解出：
与 
此时系统的总动量：
系统的总能量：
本题小结：
（1）与绳相关的运动：绳上的任何二点的沿绳分速度大小相等
（2）特别注意到物理量的对称性，B、D的速度完全相同；四根绳拉力的冲量大小只有两个之别
（3）注意到各小球运用动量定理，且注意方向性
（4）物体的动能等于各正交分速度的对应动能之和,这是因为
（5）注意到多元方程组的解法：（一）明确要求物理量
（二）消去中间物理量
（6）熟练掌握三角函数的运算法则
