全国物理竞赛辅导第04期

竞赛试题

三根长度均为l =2.00米，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架ABC。C点悬挂在一光滑水平转轴上，整个框架可绕轴转动。杆AB是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图所示。现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动应是一种什么样的运动。

试题分析

怎样才能让学生读了题后，产生这样的疑问：三角框架为什么能不动？有了这样的提问后，就能进入本题的思考了。大家都熟知人从跷跷板的一端走向另一端，跷跷板要失去平衡，同理悬挂的三角架如同一个跷跷板，松鼠从一端到另一端也会失去平衡,发生转动。松鼠在导轨上运动这是事实，但三角架能保持平衡这也事实，怎样能让这两个事实同时出现？松鼠在三角架上运动能让它失去平衡，说明松鼠对三角架有作用力，松鼠一定对AB有压力，向下。如果只有这一个力，AB一定失去平衡。如果松鼠在C点的正下方偏右，压力有顺时针力矩，能让静止的AB顺时针转动，怎样才能让AB仍然静止，松鼠必须同时还要对AB产生另一个作用力，这个力的矩是就应该是逆时针的了。压力是弹力性质，那么能对三角架产生逆时针力矩的这个力只能是摩擦力性质。这是因为从题中给出的环境，只可能出现摩擦力了，方向应该向右，才能产生逆时针力矩。又知道松鼠越向右走，压力虽然不变但力臂是变大的，压力矩就越大，但摩擦力的力臂是不变的，所以只能是摩擦力变大，才能抵消压力矩了。这是一种什么摩擦力才能出现越在两边处，力越大呢？滑动摩擦力能行吗？我们设想AB导轨是由摩擦因数不等的材质构成，越边缘处因数越大，好象能达到这个条件，但在向右运动的过程，作用在AB上滑动摩擦力是向右，对AB产生的是逆时针力矩，这能实现平衡，但松鼠在走到B点再返回向左运动，滑动摩擦力就改变方向向左，它也为顺时针力矩了，两个力矩一叠加，AB失去平衡的条件就更能满足了，这就要求松鼠对AB的摩擦力必须是从中心向外才能抵消压力矩。就是说无论松鼠朝什么方向运动，松鼠对杆的摩擦力一直只能由内向外，否则，三角架就要失去平衡，这样滑动摩擦力不能达到要求，只能是静摩擦力了。松鼠怎么能在AB导轨上运动而产生静摩擦力呢？除非玩具松鼠自带动力（内有小电机），否则不能实现。在向外运动时松鼠做减速行驶，静摩擦力向外，在向内运动的过程中松鼠做加速行驶，对AB的摩擦力向外，在向内的运动过程中，松鼠做加速运动，对AB的摩擦力仍然向外，只要松鼠与AB导轨的静摩擦因数足够大就行。这样的摩擦力能让三角架平衡。作用在松鼠上的摩擦力能让松鼠做什么运动呢？先从这个摩擦力应该满足什么条件才能让三角架处于静止状态入手，再看这个力能让松鼠做什么运动。

为了量度力臂，在横杆AB上建立一坐标系，悬挂点C在AB上的投影O为原点，向右为正。设某时刻松鼠在O点的左边其坐标为x，此时正好向外减速运动，压力的逆时针力矩为:

摩擦力的顺时针力矩为:

其中d为三角架的高,要使三角加平衡应该有,有:

方向与x的方向正好相反。

现在看松鼠受力。松鼠受重力与AB导轨给的支持力相平衡，留下导轨给的摩擦力为合力，此力大小与位移成正比，方向与位移方向相反，正好满足了物体作简谐运动的条件。这样就找到了题目给定的问题之解答。

试题解答

在AB上取向右的方向为正，悬挂点C在AB上的投影O为原点，建立一坐标轴如图所示，设某时刻松鼠在O点的左边其坐标为x，此时正好向外减速运动，对三角架分析，压力的逆时针力矩为:

摩擦力的顺时针力矩为:

其中d为三角架的高,要使三角架平衡应该有,有:

对松鼠受力分析，松鼠受重力与AB导轨给的支持力相平衡，留下导轨给的摩擦力为合力：

此时的x为负，而松鼠受到的摩擦力方向向右为正，正好与x的符号相反。其中d为正三角架的高

所以有：

这就证明了松鼠在导轨上作简谐运动。其运动周期为：

它的振幅A≤1m

本题小结：

（1）有固定转轴的物体平衡条件：

（2）物体做简谐运动的条件及周期公式：，

（3）对松鼠与AB导轨的摩擦力的理解

（4）注意运动受力的分析能力的总结