全国物理竞赛辅导第05期
竞赛试题
第十届全国中学生物理竞赛预赛试题第三题
半径为R、质量为M的均匀圆球与一质量为m的重物分别用细绳AD和ACE悬挂于同一点A，并处于平衡，如图所示。已知悬点A到球心O的距离为L，不考虑绳的质量和绳与球心的摩擦，试求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角θ。
试题分析
一个物体受三个力处于平衡，三力的关系只有两种可能。一是三力平行，第三力与前两力方向相反，有F3＝F1＋F2、F1d1=F2d2，其中d1与d2为二力作用线关于F3的作用线间的距离，如图一所示。
二是三力相交于一点，有 
，其中θ1、θ2、θ3为三力作用线间夹角且有θ1＋θ2＋θ3＝2π如图二所示。
高中物理解题时，请同学们熟练掌握三力平衡情况，练习题中常常是三力平衡，因为二力平衡是初中问题，多力平衡太繁衍，三力平衡足可以考查平衡问题了。某些多力平衡可以转化成三力平衡，如本题。
以圆球为对象，有四个施力物体，它们分别是地球、三绳AB、AC、CE ，对应的作用力为Mg，F1、F2、T＝mg。其中F1与F2的合力F必过A点，这样就转化成了三力平衡。Mg与T竖起向下，所以F竖起向上，如图所示。（注意到OC为半径R）
由三力平衡条件可求出d。A在OC上的投影为A′，d=OA′。现在的问题是能否论证AB过O点，如果能，则绳AD与竖直方向AB的夹角θ有
，这是因为ΔOAA′为直角三角形。
要论证这个问题，将Mg，F1、F2、T这样分组，注意到F2与T是同一条绳子ACE被无摩擦球分成两部分，所以有F2＝T＝mg，它们的合力在二力作用线构建角的角平分线上，必经球心O，又回到三力平衡条件上，AB的作用线一定在AO上。
也可以这样考虑，对O为转轴，F2与T的合力矩为零（力的大小相等，力臂同为R），球的重心在O，所以F1一定过O点。
试题解答
以圆球为对象，球受重力Mg，三绳AB、AC、CE的拉力为 F1、F2、T。其中F1与F2的合力F必过A点。如图所示。（注意到OC为半径R）
由三力平衡得： 
求出： 
注意到F2与T是同一条绳子ACE被无摩擦球分成两部分，所以有F2＝T＝mg，它们的合力在二力作用线构建角的角平分线上，必经球心O，由三力平衡条件，AB的作用线一定在AO上。
A在OC上的投影为A′，ΔOAA′为直角三角形，d=OA′
。绳AD与竖直方向AB的夹角θ有
本题小结：
（1）注意熟练三力平衡条件
（2）多力平衡时，注意转化成三力平衡，应用上三力平衡的条件。
