全国物理竞赛辅导第06期
竞赛试题
一根不可伸长的细轻绳，穿上一粒质量为 
的珠子（视为质点），绳的下端固定在 
点，上端系在轻质小环上，小环可沿固定的水平细杆滑动（小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不计），细杆与 
在同一竖直平面内．开始时，珠子紧靠小环，绳被拉直，如图复19-7-1所示，已知，绳长为 
， 
点到杆的距离为 
，绳能承受的最大张力为 
，珠子下滑过程中到达最低点前绳子被拉断，求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小（珠子与绳子之间无摩擦）
注：质点在平面内做曲线运动时，它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向加速度 
，可以证明， 
， 
为质点在该点时速度的大小， 
为轨道曲线在该点的“曲率半径”，所谓平面曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把它看做是某个“圆”的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径．如图复19-7-2中曲线在 
点的曲率半径为 
，在 
点的曲率半径为 
．
试题分析
首先要解决的是怎样确定运动物体的位置？一般有两种方法，一是用直角坐标系，这是最常用的，也是最容易想到的。二是用极坐标系，它体现了用与已知方向的夹角和到原点的距离来确定位置的观念。为了能运用上题中给出的 
的“曲率半径”，应该判断珠子的运动轨迹是一条什么曲线。设在如图所示的坐标系中，
某时刻珠子的位置为P点，环的位置为P′点。图中为什么有P′P在竖直方向，这是因为环与杆无摩擦，环的质量又不计，环与珠子在水平方向上应该有相同的运动，所以环始终应该在珠子的正上方。二坐标应该有关系： 
，整理后得到 
，当x=0时， 
（珠子达到最低点时距O为 
），这是一条开口向上的抛物线，A点是这抛物线的焦点，y轴是它的对称轴，P点的法线应该是角AOP＝2α的角平分线（这是抛物线的一条重要性质）如图所示。
珠子在P点受到重力G，P′P绳的竖直拉力T，AP绳的拉力T(为什么相等)，两个拉力与法线夹角同为α。为了求法向加速度，现将各力分解在法向与切向上，法向合力为 
，加速度为 
，由题中已知有 
，得到这个式子有什么用处？，如果知道了R、V，将T＝Td代入就可求出α，对抛物线来说不同的位置应该有不同的α，求出了α一定可以确定位置的坐标。看来还差两个待求的R与V。V是一个与动能相关的量，由于二绳的合力与切线垂直，所以绳子的总拉力不做功，由机械能守恒得到 
，现在只剩下R这个量了，怎样求R？珠子运动到P点的未知太多，不可能直接求曲率半径。能不能找一条与它有相同的曲线，在对应位置上已知又较多的别的物体运动轨迹来求这个曲率半径？这让我们想起，某处的公路无论你从什么方向去看，它的曲率半径是一定的，各汽车过这一点时可以有不同的运动情况。它能与我们学过的什么运动联系起来。这是一条抛物线，课内学过的平抛运动就是一条抛物线，平抛运动中的已知较多。它们的轨迹是否相同，这要看珠子在最低点的速度是否在水平了，这个条件是满足的。所以我们将珠子的运动轨迹关于x轴对称地翻转上去，它就变成了一条平抛运动的轨迹E′QP′了，如图所示，
图中的 
，Q点就是P的对应点，珠子运动的最低点E对应点是E′，它是平抛运动的起点，为了保证到P′的射程为 
，它应该有初速度 
，E′Q之间的竖直高度为 
，在Q点的速度 
，在半径方向的合力为mgcos，又由法向加速度公式得： 
，可以求出 
，到达了求解R的目的，现整理一下有四个重要式子：
…①
…②
…③
…④
将 T＝Td代入就能够求出求出x与y了。
试题解答
建立直角坐标系如图所示：
设珠子到达P点的速度为V，坐标为（x，y），由图中的几何关系为：
…①
设角APP′＝2α，由于运动轨迹是抛物线，它的法线恰好是它的角平分线, 现将各力分解在法向与切向上，由题中给出的公式为：
…②
由机械能守恒得：
…③
将珠子的运动轨迹关于x轴对称地翻转上去，它变成了一条平抛运动的轨迹E′QP′，如图所示，
图中的 
，Q点就是P的对应点，珠子运动的最低点E对应点是E′，它是平抛运动的起点，为了保证到P′的射程为 
，它应该有初速度 
。
E′Q之间的竖直高度为 
。所以在Q点的速度有速度 
，在半径方向的合力为mgcos，又由法向加速度公式得： 
。
可以求出： 
…④
由②、③和④并将T＝Td求出： 
要使解有意义，必须有 
与 
。
即： 
将y代入①式得： 
同时得到： 
本题小结：
（1）提高对物理规律的阅读与理解能力，例如题中“ 
， 
为质点在该点时速度的大小， 
为轨道曲线在该点的“曲率半径”，所谓平面曲线上某点的曲率半径，就是在曲线上取包含该点在内的一段弧，当这段弧极小时，可以把它看做是某个“圆”的弧，则此圆的半径就是曲线在该点的曲率半径”。
（2）P′P段绳子拉力方向为什么总在竖直方向上。
（3）加强对圆锥曲线的理解，如对抛物线，来自于焦点的光线经抛物线反射，反射光线沿对称轴射出，法线就是角平分线。
（4）注意等效法的应用，如本题中，珠子在P点的曲率半径等效于有相同轨迹的平抛运动对应点的曲率半径。注意两个轨迹相似的条件：相同的水平位移与相同的竖直位移。
（5）注意那些结果用字母形成的表达式，作为完整的表达应该写出一些量的取值范围，如本题的:
