全国物理竞赛辅导第07期

竞赛试题

军训中，战士距墙S₀以速度V₀起跳，如图所示，在用脚蹬墙面一次，使身体变为竖直向上的运动以继续升高。墙面与鞋底之间的静摩擦系数为μ₀，求能使人体重心有最大总升高的起跳角θ。

试题分析

人离开地面后作斜抛运动，水平方向上走完S₀，为达到全过程上升的总高度最大，此时应该还在上升阶段，所以人有向右与向上的的速度，在人用力蹬墙壁的过程中，在墙壁的作用下人的水平速度恰好变为零，同时人的竖直速度增加一个向上的值，后来人作竖直上抛运动，继续上升达到最高。求出全过程上升高度表达式，然后讨论出极大值。

试题解答

人以V₀的初速度跳离地面，V₀与地面的夹角为α，水平方向作匀速运动，速度为

V_x＝V₀cosα

走完S₀的时间为 ，与墙壁P点接触。

竖直方向上，初速度为V_y0＝V₀sinα,经时间t上升的高度为：

此时竖直速度为

在P点时，运动员用力蹬墙壁，墙壁支持力N给人的水平冲量为NΔt使人的水平速度变为零，由动量定理:                      

墙壁给人的最大摩擦力 冲量 使人的竖直速度增加到 ,由动量定理：

解出：

离开墙壁后以竖直上抛运动继续上升再上升高度:     

全过程上升的总高度为：

将上式整理化简得：

求h的最大值过程如下：

  

其中 ，所以当 时，h有最大值：

这个结论中的S₀是运动员离地点到墙壁的距离，应该尽可能小，能否为零？从实际操作角度看是不能的，这是因为运动员为了有足够大的初速度要从较远处助跑过来，起跳时又要有一定的操作空间。为了能够上升，应该有

　即    

本题小结：

（1）准确分析出物理过程是怎样进行的，如题中运动员从助跑开始、离地起跳、斜抛上行、力蹬墙壁、竖直上抛达最高点。

（2）熟练掌握斜抛运动规律：

以与地面夹α角的V₀斜抛，在水平与竖直两个方向分解

水平方向：初速度为V₀cosα的匀速直线运动，

竖直方向：初速度为V₀sinα；加速度为g；瞬时速度为 ；位移为

上升的最大高度为    腾空时间为    最大射程为

(3)注意题中关键词“使身体变为竖直向上的运动以继续升高”的理解，墙壁支持力的冲量让人的水平速度变零。而摩擦力的竖直冲量是不大于支持力的冲量与μ的乘积，以恰好出现最大静摩擦力为界。

（4）最后说一下 求极值。它的一个基本思想是用恒等变形化成某个角的三角函数，利用三角函数求极值。注意到 ，

与 的对应关系。