全国物理竞赛辅导第08期
竞赛试题
在光滑平面上自由放置一轻弹簧，其左端固定，右端系着物块P，另一物块Q在P的右边与它紧靠，Q的质量是P的2.5倍，P与Q右边有一壁与弹簧垂直，物块与此壁相距L＝（14π/13）cm，今使P、Q从原来位置向左边移动一段距离，并令其处于静止状态后予以释放，已知P在第一次通过平衡位置后完成一次全振动时，与Q恰好发生了第一次碰撞，假设所有的碰撞均为完全弹性碰撞，且两物块大小均可以忽略不计。试求：
1．开始时弹簧压缩量L0是多少？
2．P、Q第一次分离与第一次碰撞时间内，P至两物块第一次分离点的最远距离是多少？
3．在P、Q第一次碰撞与第二次碰撞的时间内，P至两物块第一次分离点的最远距离是多少？
4．图中给出了一条余弦曲线。试以物块第一次相碰时刻为计时起点，在图中画出P和Q的位移时间图象，并标出P和Q第二次相碰的时刻。
试题分析
由题意，环境示意图如下，此开始动作的位置是P、Q水平方向上均不受力的位
置，P与Q将在这里分离。在第一次P、Q分离后，Q向右作匀速直线运动，P作简谐运动，由题意可得出Q来回运动2L的路程的时间就是Q的周期 
，其中V就是P、Q分离时的速度，又由弹簧振子的周期公式 
，在放手后到分离过程中，由机械能守恒得：
， 能够求出L0了。
在PQ第一次碰撞前，P作了一次完整的全振动，P离开分离点（平衡位置）的最大距离就是振幅，由于P在振动过程中机械能守恒，有
，能够完成第二个问题了。
关于第三个问题，应该考虑在P、Q第一次碰撞与第二次碰撞的时间内，P能否完成 
以上的全振动，如果能，它们的最大距离就是振幅（不同于第一次的振幅，第一次碰撞后的能量有变化），如果在P完成不到 
次全振动内PQ就发生了第二次碰撞，那么碰撞地点到平衡位置的距离就是答案。这与碰撞后PQ的各自速度有关，可由动量与机械能两个守恒定律来确定PQ碰后的各自速度VP与VQ，由动量守恒：
，
由于碰撞前Q向左的动量大于P向右的动量，所以VP的方向一定向左，VQ的方向待定，设为向右。由机械能守恒， 
，联立求解方程时，注意先求解VP，因为它的方向是定了的，只有大小，值一定为正。解出 
，方向向左， 
，方向向右，P的振动周期不变，Q来回走完L的时间变长，能够保证P完成 
以上的全振动其间不与Q相碰。
关于第四个问题。在画图时，要注意到P的初始条件，它是向左运动的，所以，如果选择向右为正，O点应该选择为如图所示位置。在P的一个周期中内，P的运动还没有改变方向，所以P的位移 
，这样就可以画出Q的图象，二图象的第一个交点就反映出第二次相碰的时间。
试题解答
放手后P与Q将在弹簧原长处分离，设分离时的共同速度为V。由题意可得出Q来回运动2L路程的时间就是Q的周期： 
…(1)
又由弹簧振子的周期公式： 
…(2)
由机械能守恒得： 
…(3)
由(1)与（2）式得 
代入（3）式得：
＝2.01cm
在PQ第一次碰撞前，P作了一次完整的全振动，P离开分离点（平衡位置）的最大距离就是振幅，由于P在振动过程中机械能守恒，有 
解出： 
经过一个周期，P与Q都恰好回到平衡位置，P有向右的速度V，Q有向左的速度V，碰撞后P的速度大小为VP，一定向左，Q的速度大小为VQ，设为向右。由动量守恒：
由机械能守恒： 
联立求解得： 
， 
在接下来的分离运动中，P的振动周期不变，Q的速度只有原来的来回 
，保证了在T内不与墙壁碰撞，足以能够保证P完成 
以上的全振动其间不与Q相碰。设P现在的振幅为A2，机械能守恒得：
解出： 
就是在P、Q第一次碰撞与第二次碰撞的时间内，P至两物块第一次分离点的最远距离。
设向右的方向为正，P物体的初速度向左，从平衡位置开始运动，所以图象是个从第四限开始的正弦图象,如图所示：
在一个周期内，Q的位移 
，OE为Q的运动图象，E点的横坐标就是P和Q第二次相碰的时刻。
本题小结：
（1）根据题意尽可能准确地画出环境图，对我们准确理解题意有益。
（2）注意收集弹簧的弹性势能公式 
，简谐振动周期公式 
（3）由于本题中两个物体的运动都要反向，PQ的下一次碰撞时刻能否推迟到 
T后，需要做出判断，以确定P物体离开平衡位置的最大距离的发生地。
（4）机械能守恒与动量守恒的两个式子联立求解，一些学生常常解错，注意要总结经验，使求解过程简单化。如果只涉及到动能守恒，可用下面这个结论补充一个一次方程，就是：碰撞前甲相对于乙的速度等于碰撞后乙相对于甲的速度，如本题中，碰撞前P有向右的速度V，Q有向左的速度V，P相对于Q有速度2V；碰撞后，P有向左的速度VP，Q有向右的速度VQ，Q相对于P的速度为VQ＋VP， 
，这个式子与动量守恒式子联立是一个一次方程组，避开了二次方程的求解。
（5）关于简谐运动的图象，至少能够画出两个特殊点开始运动的图象，从最大距离开始的是余弦图象，从平衡位置开始的是正弦图象，同时注意到初速度的正负。
