全国物理竞赛辅导第09期

竞赛试题

半径为r、质量为m的三个相同的刚性球放在光滑的水平桌面上，两两互相接触。用一个高为1.5r的圆柱形刚性圆筒（上下均无底）将此三球套在筒内，圆筒的半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间均保持接触，但相互间无作用力。现取一质量亦为m、半径为R的第四个球，放在三球上方的正中。设四个球的表面、圆筒的内壁表面均由相同位置构成，其相互之间的最大静摩擦系数均为 （约等于0.775），问R取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？

试题分析

在用手轻轻竖直向上提起圆筒时，四球的整体重力被下方三球与圆筒内壁接触处的摩擦力低消，由对称性三处的摩擦力相等，f=4mg/3，这个结论与第四球的大小没有关系，只要它不从三球的间隙中掉出来。R的大小决定了第四球与下方三球接触点的位置，接触点的位置不同，彼此的相互作用力的方向不同，而每个球都是平衡的，所以球受到的其它力一定有一个力要跟随发生变化，但由于是静摩擦力，大小有一个限制，所以R的大小也应该有一个限制。这个限制的细节要由每个球的受力情况决定。所以应该对球进行受力分析，下方三个球，由于对称性，只需要选一个球出来分析，如图示：

上面已经提到了f₁＝mg，N₁是圆筒给的弹力，N₂是R球在接触点处给的弹力，mg是重力，这三个力的方向过球心O₁，对f₂的方向判断要引起注意，可以从力矩平衡角度进行判断，一个物体处于平衡，选任何点在转轴上，物体的合力矩均应该为零。选过O₁垂直于纸面的直线为转轴，只有两个摩擦力有力矩，由合力矩为零，所以f₂应该向上。由于力臂均为r，有f₁=f₂=4mg/3。有三个未知数N₁，N₂及方向­θ，分别在水平与竖直方向上列两个式子。方程个数不够，还应该选一个独立的研究对象。

选上方R球为对象，受力如下

其中f₂、N₂是下方球给的反作用力，这样的力有三对，是对称的。在竖直方向上可列一个方程，但这个方程与整体为对象列式是同解方程，所以不可能独立求出N₁、N₂与θ。

由于各面是静摩擦力，应该满足f₁/N₁≤μ, f₂/N₂≤μ，关于μ有两个不等式，要论证谁的比值小，选其小值，由于分子相等，只看分母。N₁、N₂选大值的。这一切只有靠改变θ来满足所选不等式。而­θ与R是对应的。能够写出R与θ的对应关系。别忘了R球不漏出的条件。

试题解答

一、由对称性，圆筒给三球的摩擦力f₁是相同的，由四球整体平衡得: ……(1)

二、选下方一小球受力分析如图所示：

选过O₁点垂直于纸面向外的直线为转轴，mg，N、N三和的力矩均为零，所以有： ……(2)

选过二摩擦力交点垂直于纸面垂线为转轴，有： ……(5)由此有N₁＞N₂

所以只要 成立了， 一定成立。

由合力为零，在竖直方向上： ……(3)

联立求解上面（1）、（2）和（3）式，得到： ，命

整理为： 解出：

三、题中几何关系如图所示：

O₁是半径为r的球心，O₂是半径为R的球心，O是圆筒的中心。其中：

所以： 代入 得：

为了防止上方球从三球的间隙中掉出应该有： ，综上述，R的范围是：

本题小结：

(1)两小球的摩擦力的方向判断是本题中容易出错的地方，可根据合力矩为零的条件进行判断，恰当志选择转轴让问题简单化。也可以从平衡被破坏的结果来判断。在本题中，平衡不成立，小球从下方掉出，下方小球相对于上方小球的接触处有向下运动的效果，所以上方小球对下方小球有沿切线向上的摩擦力。

(2)有静摩擦力出现的平衡，注意应用

(3)注意方程组中各方程的独立性。本题中，先了下方小球为对象后，整体与上方小球只能选择一个为对象列式，它们的方程不是独立的。

(4)未知量较多的过程，注意把握住题目要求的量。本题中不需要知道N₁与N₂，只要知道

(5)注意题中各物体间的几何关系。如本题中的R的画地为球心，r的球心与圆筒的中心的几何关系。

(6)熟练掌握一元二次不等式的求解方法，结合题目的实际选择解。如本题的θ只能为锐角，淘汰了 。

(7)不要漏掉了R小球从下方三小球的间隙中掉出的限制。