全国物理竞赛辅导第12期

竞赛试题

一个大容器中装有互不相溶的两种液体，它们的密度分别为 和 （ ）。现让一长为 、密度为 的均匀木棍，竖直地放在上面的液体内，其下端离两液体分界面的距离为 ，由静止开始下落。试计算木棍到达最低处所需的时间。假定由于木棍运动而产生的液体阻力可以忽略不计，且两液体都足够深，保证木棍始终都在液体内部运动，未露出液面，也未与容器相碰。

试题分析

由题画出木棍运动示意图：

木棍从(1)到(2)为匀加速运动，时间可由位移、加速度确定。

从(2)到(3)，木棍先作加速度减小的加速运动，到其中点在界面上，再作加速度增大的减速运动到木棍全部没于下方液体中，由于木棍在进入下方液体的过程中，木棍的加速度是关于中点到界面的距离成比例，这一过程可视为简谐运动，时间由，周期与初末速度决定。

从(3)到(4)，木棍作匀减速运动，时间由初速度和加速度决定。

从(4)到(7)可视为复原到(1)的逆运动。所以木棍在液体中作的是机械运动。

试题解答

一、木棍从(1)到(2)，合力为： ，

加速度为： ，下降的距离为 。

时间 ，

到位置(2)时，木棍的速度：

二、木棍从(2)到(3)为局部的简谐运动，界面是平衡位置，对它的位移为x，回复力为：

周期为： ，

作简谐运动的物体其速度为 ……(1)

期中v₀为木棍的中点达界面时(平衡位置)的速度，

从开始到木棍的中点达界面过程中，上方液体增加的势能为 ：

下方液体增加的势能：

木棍减少的势能：

由能量守恒得：

所以： ，代入(1)式有：

木棍以简谐运动，速度由零变成v₁用时间为t，则：

解出 ，由简谐运动对称性得木棍作简谐运动的时间为：

三、当木棍完全进入下方液体时，其速度又为v₁，加速度大小与a₁相等，方向相反，所以木棍在下方液体中运动到静止的时间与t₁相等。

综上所述，木棍到达最低处所需的时间：

本题小结：

(一)积累把一个物理过程分成几个阶段求解的经验。如本题中木棍经历了匀加速运动，简谐运动和匀减速运动。

(二)关于简谐运动：

(1)简谐运动的位移时间图象是正余弦图象：

时间与角有一个对应关系： ，命 ，则 ，利用它可求时间。

(2)如果位移为 ，则速度一定为 ，θ₀为初始对应角。

(3)周期 ，k为回复力公式中的常数。

(4)尽量运用上简谐运动的对称性：从平衡位置向两边走等远处或返回到平衡位置的时间一定相等，在等远位置速度大小一定相等。