全国物理竞赛辅导第14期
竞赛试题
一半径为 
的水平光滑圆桌面，圆心为 
，有一竖直的立柱固定在桌面上的圆心附近，立柱与桌面的交线是一条凸的平滑的封闭曲线 
，如图预17-2所示。一根不可伸长的柔软的细轻绳，一端固定在封闭曲线上的某一点，另一端系一质量为 
的小物块。将小物块放在桌面上并把绳拉直，再给小物块一个方向与绳垂直、大小为 
的初速度。物块在桌面上运动时，绳将缠绕在立柱上。已知当绳的张力为 
时，绳即断开，在绳断开前物块始终在桌面上运动．
1．问绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度为多少?
2．若绳刚要断开时，桌面圆心 
到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，问物块的落地点到桌面圆心 
的水平距离为多少？已知桌面高度 
．物块在桌面上运动时未与立柱相碰．取重力加速度大小为 
。
试题分析
绳在缠绕到立柱上的过程中，小球的速度大小不变，半径减小，绳的拉力增大，这是断绳的原因。由断绳时的张力等于向心力可求出绳刚要断开时，绳的伸直部分的长度。小球运动的圆心是绳与立柱的切点。
由于断绳后，小球在桌面内做匀速直线运动，离开桌面后沿原速度方向上做平抛运动。将桌面圆心O、绳与立柱的切点A、小球断绳位置B和小球离开桌面位置C四点投影在地面上且与小球的着地点D连成如下图形：
OD就是物块的落地点到桌面圆心 
的水平距离。将AB平移到O点即OB′，由于桌面圆心 
到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，所以ΔOB′D和ΔOB′C均是直角三角形。CD正好是小球在空中平抛运动的射程， OB′是断绳长，OC是桌面半径，由几何关系能够计算出OD的长度。
试题解答
断绳时绳子的张力大小等于小球的向心力： 
其中，L是断绳时切点到小球的绳长， 
由于断绳后，小球在桌面内做匀速直线运动，离开桌面后沿原速度方向上做平抛运动。将桌面圆心O、绳与立柱的切点A、小球断绳位置B和小球离开桌面位置C四点投影在地面上且与小球的着地点D连成如下图形，
OD就是物块的落地点到桌面圆心 
的水平距离。将AB平移到O点即OB′，由于桌面圆心 
到绳的伸直部分与封闭曲线的接触点的连线正好与绳的伸直部分垂直，所以ΔOB′D和ΔOB′C均是直角三角形。CD正好是小球在空中平抛运动的射程， OB′是断绳长，OC是桌面半径。
由平抛运动得： 
由力图中几何关系得： 
将已知代入求解得： 
本题小结：
(1)在绳缠绕立柱的运动中，小球是以绳切点为圆心的运动。注意运动中心不在立柱的中心。运动中不变的是速度大小。
(2)注意将立体运动转化成平面运动。如本题中将桌面中的点投影在地面上。
