全国物理竞赛辅导第15期
竞赛试题
在光滑的水平面上，放置一个质量为M，截面是1/4圆（圆的半径为R）的柱体A，如图所示，柱面光滑，顶端放置一质量为m的小滑块B，初始时刻A、B都处于静止状态，在固定坐标系xoy中的位置如图所示，设小滑块从圆柱顶端沿圆弧滑下，试求小滑块脱离圆弧以前在固定坐标系中的轨迹方程
试题分析
所谓轨迹方程，就是揭示运动物体的座标间关系的方程。在本题中就是求x与y 的方程。在B物体下滑过程中，由于地面没有摩擦所以A物体向左运动，某时刻的位置如图所示：
由于水平方向上动量守恒，A与B在水平方向上的位移有关系，纵座标y与两物体的水平位移通过半径R能构成直角三角形，由边角关系可求。
试题解答
在下滑过程中，AB的相对位置如图所示：
在水平方向上，由动量守恒： 
，得 
x与xA构成直角三角形的水平直角边，由勾股定理： 
，整理成：
它是一个椭圆方程，半短轴为 
(x轴方向)，半长轴为R(y轴方向)。
本题小结：
(1)写轨迹方程的方法：确定座标系，找出座标间的关系，如本题中的三角形关系。
(2)怎样求A与B的分离点，也就是轨迹方程的定义域？
设A有水平速度为v1，B有水平速度为v2和竖直速度v3，由机械能守恒：
……(1)
由水平方向动量守恒： 
……(2)
在滑离点，B相对于A的速度，水平方向上为 
，竖直方向上为 
此时滑离点的半径与水平方向的夹角为θ，有： 
， 
将相对速度 
分解在半径与切线方向，切线方向的分速度为 
由牛顿第二定律： 
……(3)
半径方向的相对合速度为零： 
……(4)
轨迹方程为： 
……(5)
联立求解(1)到(5)式可得脱离点的座标x与y 。
