全国物理竞赛辅导第16期

竞赛试题

一弹簧振子，两端为质量都是m＝0.1kg、大小不计的物体A、B，中间是一静止长度为l₀，劲度系数为k₀、质量可以忽略的理想弹簧，现此振子从某一高度、A端在下竖直地自由下落至一水平桌面，开始下落时，A距桌面的高度为H＝2m，开始时弹簧无伸长或压缩，A与桌面发生弹性碰撞后跃离桌面，当A第二次接触桌面时，发现弹簧的压缩到达最大。求：

1．  弹簧劲度系数k₀之值。

A第二次与桌面接触时的速度。

试题分析

从a到b，整体一起自由下落；b到c表示小球A与地面弹性碰撞，B的速度不变，A的速度大小不变，方向由向下变成向上；c到d这个过程可理解为两种运动的叠加：A、B关于平衡位置O的简谐运动与O点自由下落的两种运动。其中简谐运动是从平衡位置来到最大位移处，振幅为A，自由下落使O点向下运动了A，它们的时间都为简谐运动的周期。

试题解答

1．AB整体自由下落的末速度设为V₁，由自由落体运动规律得：

2．A与地在极短的时间里碰撞，速度等大反向。

3．以后的运动分解为二球的简谐运动与整体的自由下落。

(1)、AB二球关于平衡位置的简谐运动，各球的平衡位置就是速度为V₁的位置，设其周期为T，振幅为A，由简谐运动的规律得：

回复力的公式为

……(1)

     ……(2)

弹簧压缩最大时，就是两个小球各自运动位移均为A时，所以实际耗时为

(2)、AB一起自由下落，由于弹簧压缩的最大时，A球又第二次到地，则自由下落的时间也为

有           ……(3)

到地时速度为V₂， ……(4)

代入数据联立求解(1)到(4)得：

本题小结：

(1)、将一个复杂的运动分解为两个简单运动。如本题中，在A球的跳起过程，将它的运动分解为简谐运动与自由落体运动。

(2)、由于是两球相向运动压缩弹簧，所以回复力公式中的常数应为2k₀。

(3)、简谐运动中势能量度公式为

(4)、在运动的分解中，注意到各分运动的联系。如本题中在A球的跳起过程，自由下落时间与简谐运动发生位移大小为A的时间相等；A球向上简谐运动的位移为A，同时A又向下自由下落了A，这样保证了在弹簧最大压缩时A球又落回到桌面。