全国物理竞赛辅导第18期

竞赛试题

长为2b的轻绳，两端各系一质量为m的小球，中央系一质量为M的小球，三球均静止于光滑的水平桌面上，绳处于拉直状态。今给小球M以一冲击，使它获得水平速度V，V的方向与绳垂直（如图所示）。求在两端的小球发生互碰前的瞬间绳中的张力。

试题分析

在小球M向前运动的过程中，2b轻绳由直线变成对折，如图所示。

在图示瞬间，三球在原速度V的方向上有相同的速度，二小球m在绳的垂线上有等大反向的速度，全过程中动量守恒。由于原来的绳已经处于拉直状态，所以过程中机械能守恒。牛顿第二定律只能对惯性系成立，应选地为参照物。每个球的合力均不为零，都有加速度。m相对于M作圆周运动，向心加速度应该是m、M的对地的加速度的矢量合，线速度就是m在垂直于绳方向的速度。

试题解答

两小球在碰撞前，如图所示：

由对称性有 ，在沿绳方向三球的速度相等，有 。

由系统的动量守恒：                              ……(1)

由于原来的绳已经处于拉直状态，所以过程中机械能守恒：

        ……(2)

设绳的张力为T，对M有：                                ……(3)

对m有：                                                 ……(4)

m相对于M的加速度为 ，由圆周运动有：       ……(5)

联立求解(1)~(5)式得：                 

本题小结：

(1)对所求状态进行分析，根据题目的特殊环境找出各状态量的关系。在本题中，两小球在碰撞瞬间，绳子已经与原速度V共线，又由对称性可得出三球在绳的方向上有相同的速度，两小球m在垂直于绳的方向上的速度大小相等方向相反。

(2)对变化的过程分析，找出遵守什么规律。在本题中，由于系统合力为零，动量守恒。绳子已经处于拉直状态，不再消耗机械能，机械能保持不变

(3)特别注意加速度与力的关系，牛顿第二定律对参照物是有要求的。在圆周运动中，向心力公式中的线速度与加速度都是相对于圆心的。